由于月度工资与一次性年终奖的计税方法不同，工资薪金在月度工资与一次性年终奖之间的不同配比，产生的税负也不相同。

年终将至，工资薪金个人所得税筹划是每家企业需要考虑的问题。由于月度工资与一次性年终奖的计税方法不同，所以工资薪金在月度工资与一次性年终奖之间的不同配比，所产生的税负也不相同，客观上给税收筹划提供了一定的空间。

根据我国现行个人所得税法相关规定，月度工资与全年一次性年终奖的纳税额可分别用函数表达为：f(x）=（rx-q）；g（n）=r×12n-q。其中：x为月度工资，12n为一次性年终奖，r为税率，q为相应的速算扣除数。

预知在年度剩下时间内待发放的工资薪金总额为A（A为工资薪金的应纳税所得额）。那么在年度内剩下的M个月（1≤M≤12）月度工资和一次性年终奖的配置为{x1，x2，…，xM；12n}时，其扣除的个人所得税总额为T（x1，x2，…，xM；n）=f（x1）+f（x2）+…+f（xM）+g（n）。如何分配月度工资x1，x2，…，xM和一次性年终奖12n，使得T（x1，x2，…，xM；n）的值最小？

两个最优配置的必要条件

要达到最优配置，必须满足2个必要条件，在此基础上再给出最优配置的算法，并运用算法获得任意条件下的最优配置。

条件1，设待发工资薪金总额A及月度工资发放次数M已知，如果固定一次性年终奖N，则税函数T（x1，x2，…，xM；n）取得最小值当且仅当x1，x2，…，xM皆位于（A-N）/M所在的税率区间的内部或端点。特别，若取x1=x2=…=xm=（A-N）/M，则税函数T（x1，x2，…，xM；n）达到最小值。

由此，假定最优配置满足条件x1=x2…=xM，而问题变为：对任意给定的A和M，如何选定x和n，使得A=Mx+12n，并使得T（x，n）=Mf（x）+g（n）的值最小。

条件2，当A和M给定，x和n变动时，（x，n）为最优配置，那么，或者n和x在同一税率区间，或者n 对于给定的A和M，在条件A=Mx+12n下，n的取值范围为0≤n≤A/12，将变量n从A/12开始向左推移到0，T（x，n）的随n的减小而变化。考虑T（x，n）随n减少而变化的趋势：n从A/12开始一直减小到0（x相应地从0增加到A/M）的过程，可以分成如下3个阶段：n>x，且n与x不在同一税率区间；n与x在同一税率区间；n 这是3个前后相继的阶段，分别称为过程（1）、过程（2）和过程（3）。

在过程（1）中，T（x，n）的值总是随着n的减小而减小的。

在过程（2）中，T（x，n）的值保持不变。

在过程（3）中，如果保持x与x+△x在同一税率区间，n与n-△n在同一税率区间，则总有T（x，n）因此，从n离开过程（2）那一刻起，只要尚未触及左边第一个税率临界点，T（x，n）的值都在增大，设这个增大量为D，一旦n触及左边第一个税率临界点，T（x，n）=Mf（x）+g（n）中的g（n）会有一向下的跳跃度C，如果C≥D，则表明n当取这个税率临界点时，T（x，n）获得新的最小值。同样，继续让n减小，T（x，n）还有可能在n取下一个更小的税率临界点时达到新的最小值。

当A，M已知时，n从A/12开始一直减小到0（x相应地从0增加到A/M）的过程称为变量推移。这种变量推移的方法是本文解决问题的主要方法。

税率区间值保持不变可最优配置

根据条件2可以设计一个最优配置的计算方法。

当M给定时，A的值对应了一个最优配置是（x，n），由于Mx+12n=A，A所对应的最优配置由n的值决定，故n可看作A的函数，记这个函数为n（A）（可能多值）。对任意给定的A和M，令x和n相等得x=n=A/（12+M），记其为k。由于A=（12+M）k，可知在给定M的条件下，k与A是一一对应的，因而当M给定时，函数n（A）可转化为函数n（k）进行讨论。并称n（k）为最优配置函数。于是只要对任意1≤M≤12，求出函数n（k），问题便解决了。

对于给定的A和M，将上面所述的（k＝A/（12+M））放到由税率区间构成的正实轴上，若k∈（ai-1，ai），由必要条件2可知，n（k）的值要么为ai1以下的税率临界点，要么为（ai1，ai）内的某一子区间。

通过进一步的讨论可知，对任意1≤M≤12和税率区间（ai1，ai），任意k∈（ai1，ai），n（k）取值税率临界点的条件：

（1）设（ai1，ai）为税率区间，ajT（z0，j），这里Mai1+12ai1=Mz0+12aj即z0=ai1+（12ai1-aj）/M。

（2）设（ai-1，ai）为任一税率区间，若当M＝12时，T（ai-1，ai-1）>T（z0，aj）则当M<12时，也有T（ai1，ai1）>T（z0，aj）。

由此可知，对任意M任意区间（ai1，i和任意k∈（ai1，i），n（k）的值有以下3种情形：n（k）＝ai2；n（k）＝ai1；n（k）为（ai1，i）内某一区间。

因此要对（ai1，ai）中的任意k计算n（k），就是要分别找出（ai1，ai）中使得n（k）＝ai2和n（k）＝ai1的点。

取ξ（x）=T（x，ai1）-T（z，aj）（x≥ai-1，z=x+[12（ai1，ai-2）/M]，x≥ai-1时ξ（x）是单调不减连续的，可找到x0使得ξ（x0）=0。取y1为（ai1，x0）的M:12分点。实际计算表明，对任意1≤M≤12和税率区间（ai1，ai），x0是唯一存在的，且y1≤ai不难看出，对任意k∈（ai1，i），当且仅当k∈（ai1，y1）时，T（z1，ai1）>T（z2，ai2）。

取t0为（ai-1，ai）的M:12分点，则对任意k∈（ai1，t0），让n和x从k处出发相向方向运动（n减少，x相应增大），若仍记n运动到ai1时x的位置为z1，显然有z1ai因而有T（k，k）>T（z1，ai1）[实际上，T（k，k）-T（z1，i1）=ci1]，从而对任意k∈S∩（ai1，0）（其中S={k│k∈（ai1，ai），T（z1，ai1）>T（z2，ai2）}）都有T（k，k）>T（z1，i1）>T（z2，i2），从而n（k）＝ai2。

由于g（n）在ai1右方有一个跳跃度ci1，由f（x）及g（n）的连续性，可知当k在t0的右方附近取值时仍有T（k，k）>T（z1，ai1）。

为求出在t0右方满足这个不等式的所有k值，把k看成是区间（m，ai）的M:12分点，其中t0记n从m继续向左运动到达ai1时，x的位置为z1，计算使得T（ai，m）≥T（z1，ai1）的最大值m0。

为此，作函数η（m）=T（aim）-T（z1，ai1），

不难看出η（m）当m≥t0时也是单调不减连续函数，且η（t0）＝ci1>0，通过计算可知，对任意1≤M≤12和税率区间（ai1，ai），函数η（m）在（ai-1，i）上有且仅有一个零点m0。若令y2为区间（m0，i）的M:12分点，则有T（k，k）>T（z1，ai1）当且仅当k∈（ai1，y2）。

实际计算还表明，对任意Ｍ和（ai1，ai），若y1存在，则必有y1≤y2。

因此，对任意1≤M≤12和税率区间（ai1，ai），若k∈（ai1，y1），则n（k）＝ai2；若k∈（y1，y2），则n（k）＝ai1；若k∈（y2，ai），则n（k）的取值为一个包含k的区间。

当k∈（ai1，y1）时，由于y1≤y2，又有k∈（ai1，y2），故有T（k，k）t0，则T（k，k）值得一提的是，当n（k）的取值为一个包含k的区间时，总可以让x取ai，即让月度工资发放数尽可能取最大值，这样做显然对职工是有利的。

对任意税率区间（ai1，ai），如果T（ai1，ai1）>T（z0，i-2），则y1，y2都存在，称（ai-1，y1），（y1，y2）及（y2，ai）为配置优化区间。若T（ai1，ai1）≤T（z0，ai2），则y1不存在，（ai-1，ai）上只有两个配置优化区间（ai1，2）和（y2，i）。

七个税率区间的十种操作

根据文中的方法，对任意M所对应的个人所得税的7个税率区间逐一进行计算、归并。当已知Ｍ和Ａ时，只需通过查表方式找到A所对应的区间，即可找到月度工资与一次性年终奖的筹划方案。具体筹划方案为（A的金额单位为“万元”）：

1.当M为1至12时，对应的A区间分别为：（0，0.15），（0，0.3），（0，0.45），（0，0.6），（0，0.75），（0，0.9），（0，1.05），（0，1.2），（0，1.35），（0，1.5），（0，1.65），（0，1.8），可采取月度工资按月平均发放；不发放一次性年终奖。

2.当M为1至12时，对应的A区间分别为：（0.15，1.95），（0.3，2.1），（0.45，2.25），（0.6，2.4），（0.75，2.55），（0.9，2.7），（1.05，2.85），（1.2，3），（1.35，3.15），（1.5，3.3），（1.65，3.45），（1.8，3.6），可采取月度工资按每月0.15万元发放；剩余部分用于发放一次性年终奖。

3.当M为1至12时，对应的A区间分别为：（1.5，3.17），（2.，3.7），（2.25，4.050），（2.4，4.55），（2.5，5.205），（2.7，5.655），（2.5，6.105），（3，6.555），（3.500，7.005），（3.，7.55），（3.5，7.905），（3.6，8.55），可采取发放一次性年终奖1.；剩余部分作为月度工资，按月平均发放。

4.当M为1至12时，对应的A区间分别为：（3.7，5.5），（3.77，6.），（4.05，6.5），（4.55，7.），（5.050，7.500），（5.55，8.），（6.05，8.5），（6.555，9），（7.05，9.5），（7.55，9.），（7.05，10.5），（8.355，10.），可采取月度工资按每月0.5万发放；剩余部分发放一次性年终奖。

5.当M为1至12时，对应的A区间分别为：（5.85，12.5），（6.，16.65），（6.75，20.4），（7.2，23.9），（7.65，27.），（8.，30.），（8.55，34.4），（9，37.9），（9.45，41.），（99，44.9），（10.35，48.4），（10.，51.），可采取发放一次性年终奖5.4万元；剩余部分作为月度工资，按月平均发放。

6.当M为1至12时，对应的A区间分别为：（12.5，19.25），（16.5，24.5），（20.，29.25），（23.，33.5），（27.4，38.2），（30.9，41.），（34.4，45.），（37.9，48.7），（41.4，52.2），（44.9，55.），（48.4，59.），（51.9，62.7），可采取发放一次性年终奖10.8万元；剩余部分作为月度工资，按月平均发放。

7.当M为1至12时，对应的A区间分别为：（19.25，45.5），（24.5，49），（29.25，52.5），（33.75，56），（38.2，59.），（41.7，63），（45.2，66.5），（48.7，70），（52.2，73.），（55.7，77），（59.2，80.5），（62.7，84），可采取月度工资按每月3.5万元发放；剩余部分发放一次性年终奖。

8.当M为1至12时，对应的A区间分别为：（45.5，62），（49，69.1667），（52.5，76.3333），（56，83.5），（59.5，90.6667），（63，97.8333），（66.5，105.250），（70，113.25），（73.5，121.25），（77，129.25），（80.5，137.25），（84，145.25），可采取发放一次性年终奖42万元；剩余部分作为月度工资，按月平均发放。

9.当M为1至6时，对应的A区间分别为：（62，71.5），（69.1667），（76.3333，82.5），（83.5，88），（90.6667，93.5），（97.8333，99），可采取月度工资按每月5.5万元发放；剩余部分发放一次性年终奖。

10.当M为1至12时，对应的A区间分别为：（71.5，+∞），（77，+∞），（82.5，+∞），（88，+∞），（93.5，+∞），（99，+∞），（105.25，+∞），（113.25，+∞），（121.25，+∞），（129.25，+∞），（137.25,+∞），（145.25,+∞）可采取发放一次性年终奖66万元；剩余部分作为月度工资，按月平均发放。